El mesolabio de Eratóstenes

El origen de este problema geométrico aparece ligado a una leyenda de la antigua Grecia, que cuenta que una epidemia de peste apareció en la ciudad de Atenas en el año 428 a. C., atemorizando a todos sus habitantes. Tal era el miedo generado que no tuvieron más remedio que recurrir a pedir ayuda al dios Apolo con el fin de terminar con la epidemia. Velozmente se enviaron emisarios desde Atenas al oráculo de Delos, lugar dónde cuenta la leyenda, Apolo luchó contra un dragón para poder apoderarse de la tierra dónde vivían las musas y la pitonisa se asienta en el “ombligo del mundo”. En el oráculo de Apolo se les recomendó construir un altar del doble de volumen del que tenía Apolo en aquel templo que tenía forma de cubo.

Pasado el tiempo, la peste no cesó y los que sobrevivieron trataron de construir un altar de forma cúbica que tuviese el doble del volumen del ya existente al dios Apolo.

“Esto tienes a mano, amigo, si de un cubo pequeño conseguir
pretendes el doble, o esa transformación en cualquier otra figura sólida,
y también si midieras de este modo un recinto o un silo
o la cóncava cavidad de un pozo cuando tomes las concurrencias medias
entre los límites extremos dentro de reglas dobles.
Y no intentes comprender las intrincadas tareas de los cilindros
de Arquitas ni los triples cortes del cono de Menecmo
ni lo que en sus líneas describe la curva figura del divino Eudoxo,
pues en estas tablillas hallarás fácilmente miles de medias
aun partiendo de pobre inicio.
¡Padre feliz, Ptolomeo, porque con tu hijo disfrutas de la edad!
Todo cuanto agrada a las Musas y a los reyes
tú mismo a tu hijo regalaste. Y lo de después, Uranio Zeus,
ojalá lo guíe el cetro de tu mano.
Esto, así suceda, y al ver la ofrenda, que alguien diga:
esto es obra del cireneo Eratóstenes.”

Eratóstenes, ápud Eutocio

Como sabemos, un tiempo más tarde Eratóstenes alcanzó varios logros de gran relevancia a lo largo de su vida, entre ellos la medición de la longitud de la circunferencia de la tierra, sin satélites ni láser, y con un error de unos 90 kilómetros aproximadamente. Nos dejó la maravillosa criba de los números primos para descubrir los existentes entre dos cantidades dadas, método fácil y cómodo. Pero le mesolabio es una de las invenciones más curiosas y útiles. Se trataba de un instrumento para la construcción de las medias proporcionales.

El aparato al ser manipulado con las manos obtiene un resultado de carácter aproximado. Se trata de un armazón formado por dos barras paralelas dónde se encuentran tres triángulos rectángulos congruentes que se pueden deslizar hacia los lados por ambas barras como si de dos guías se tratase.

La curiosidad del problema original es que el error habitual es duplicar la longitud del lado del cubo, obteniendo un cubo ocho veces mayor que el inicial, por lo que gracias al mesolabio podían conseguir la medida proporcional de la longitud del lado del cubo.

A continuación enumero los pasos a seguir para la utilización del mesolabio, espero sean claros a partir de la imagen:

1. Sea W el punto medio del segmento JH.

2. Trazar la semirrecta BW.

3. Desplazar los triángulos GEF y KHJ hasta lograr que los segmentos DC y GF se crucen,

y los segmentos FE y KJ se crucen.

4. Sea L la intersección entre los segmentos DC y GF.

5. Sea U la intersección entre los segmentos FE y KJ.

6. Desplazar los triángulos GEF y KHJ hasta lograr que los puntos B, L, U y W queden

7. Como los triángulos BLD, LUF y UWJ son semejantes, entonces se obtiene la proporción

JW/FU = FU/DL = DL/AB.

8. FU y DL son las dos medias proporcionales entre JW y AB.

9. Haciendo JW = a, FU = x, DL = y, AB = b = 2a, se llega a la proporción a/x= x/y= y/2a.

10. De las proporciones a/x = x/y y x/y = y/2a, se obtienen las parábolas ay =x² y 2ax=y²;

Al igualar éstas parábolas se obtiene que x = ³⎷2 · a .

Como ay = x² entonces a²y² = x⁴.

De igualar y = x⁴/a² con 2ax = y² se obtiene 2ax = x⁴/a² o 2a³x = x⁴.

De x⁴ – 2a³x = 0 se obtiene que x = 0 o x = ³⎷2 · a .